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一、计算题

1． 设

是来自均匀分布

与

的一个样本，寻求α与β的无偏估计. 可分别用来估计

但它们都不是无偏估计，

【答案】容易看出，这是因为均匀分布

的分布函数与密度函数分别为

由此可导出次序统计量与的密度函数分别为

从而可分别求出它们的期望

这表明：

与

不是α与β的无偏估计，但做恰当修正后，可获得α与β的无偏估计. 把（*）

或

再使用加减消去法，即可得

的无偏估计分别为

2． 从一批产品中抽检100个，发现3个不合格，假定该产品不合格品率的先验分布为贝塔分布Be （2, 200），求的后验分布.

n-x+200）. 这里n=100, x=3, 【答案】根据不合格品率的共轭先验可知，的后验分布为Be （x+2，所以，的后验分布为Be （5, 297）.

3． 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其密度函数为

与（**）两式相加与相减可得

试问该油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？

【答案】记X 为该油站每周的销售量，k 为该油站储油罐的最大储油量. 则由题意知：k 应该满足

这等价于

因此由

中解得

4． 设

（千升）. 所以可取k=46（千升）即可将一周内断油的概率控制在5%以下. 是从正态总体N （10, 9）中抽取的样本, 试求样本均值

的标准差.

【答案】来自正态分布的样本均值仍服从正态分布, 均值保持不变, 方差为原来方差的1/n, 此, 的标准差为处总体方差为9, 样本容量为8, 因而

5． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.

2n 个位置上“1”占有n 个位置，【答案】考虑n 个“1”的放法：所以共有放法，于是所求概率为

具体可算得

随着n 的増加，此种事件发生的概率愈来愈小，

种放法，这是分母，

种

而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+1个位置）去放“1”，这共有

最后趋于零.

6． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:

试画出箱线图.

【答案】这批数据n=48, 最小值为第三四分位数分别为

于是可画出箱线图如图

最大值为中位数、第一四分位数和

图

7 设随机变量X 服从参数为μ=160和．

最大为多少？

【答案】

由题设条件

或

这表明矿最大为24.32.

得

从而查表得

，的正态分布若要求

，允许

8． 甲掷硬币n+2次，乙掷n 次，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

【答案】记A={甲掷出的正面数>乙掷出的正面数}， B={甲掷出的反面数>乙掷出的反面数}. ，又因为由对称性知：P （A ）=P（B ）由此得注意到

且

AB={甲的正面数>乙的正面数，甲的反面数>乙的反面数} ={甲的正面数-乙的正面数=1，甲的反面数-乙的反面数=1] ={甲的正面数-乙的正面数=1}. 所以有

将此结果及P （A ）=P（B ）代入（1）得

，均有

注：当乙掷n 次硬币时，无论是甲掷n+1次（上题）还是n+2次（本题）中得

所以

所以

即

且由对称性，本题和上一题都有P （A ）=P（B ）. 而本题与上一题的不同点在于：本题

<而上一题中

因此对上一题我们可以由以下更简便的方法去计算：

即

当甲掷n+1次硬币，乙掷n 次硬币时，由对称性知P （A ）=P（B ）. 且由