当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：若S 为封闭曲面，为任何固定方向，则

【答案】设n 和的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得

由的方向固定，

原式=

2． 试证明：函数

阶偏导数) 。

【答案】F 的等值线为故等值线在点的法向量

3． 设

在集合上有界，求证：

【答案】由下确界定义有

移项即得

由下确界定义有

即得要证的第一式，又因为

第 2 页，共 24 页

其中n 为曲面S 的外法线方向。

和

则

都是常数，故由高斯公式得

在点的梯度恰好是F 的等值线在点的法向量(设F 有连续一，它在点的切线方程为

. 即结论成立.

与所处的地位是对称的，故第二式也成立.

二、解答题

4． 利用定积分求极限：

【答案】（1）把极限化为某一积分的极限，以便用定积分来计算，为此作如下变形：

这是函数

恒为小区间

在区间

上的一个积分和的极限. 这里所取的是等分分割，

的右端点，

所以有

（2）

不难看出，其中的和式是函数

在区间

上的一个积分和. 所以有

（3）

（4）

第 3 页，共 24 页

而

5． 根据图写出定义在上的分段函数和）的解析表示式

.

图

【答案】由直线的点斜式方程容易得到：

6． 将函数

【答案】因为

展开为傅氏级数，并求级数

是偶函数，所以

且

即得

由封闭性公式，有

由此解得

7． 计算线积分

【答案】如图所示

所以

第 4 页，共 24 页

的和.

其中ABC 为三点连成的折线.