2017年曲阜师范大学管理学院750数学分析A考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】令
于是当
故由柯西中值定理，存在
使得
证明存在
使得则.
在时
即
2． 设f 在
存在
最小值定理知
若若
则
上连续，且对任何使得
在
上连续可知
命题得证.
使得
这与m
是
3． 设在
【答案】令因此，g
为在
上
在
上的最小值矛盾. 于是
即存在证明：在
则
上的递减函数. 于是，
因为.
上所以
故使得
在
上也连续. 由连续函数的最大、
上有最小值. 设这个最小值为
存在.
使得
【答案】由f (x ) 在
上连续，在
内可导，
不同时为零. 又有
由题设知存在
上可微，且
由此得
二、解答题
4． 判断积分
【答案】（1）当p=q时，
易知：当p 收敛， 第 2 页，共 26 页 的收敛性，其中p 和q 是参数. 当时， 发散; 当时， 收敛， 当时， 发散. 所以不论p=q取何值，一定有（2）当由当 时， 时，不妨设 对于无穷积分知：当q>l时， 发散. 发散. 收敛； 下面在q>l的前提下讨论若 则 的收敛性. 为正常积分，收敛. 知： 若p>0， 由当0 收敛； 当 时， 发散. 综合可知： 当 或 时 ， 和发散. 都收敛，从 而 收敛敛；在其他情况下， 5． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 【答案】设三角形的三边分别为因此 其中因S 与 有相同的稳定点，考虑 第 3 页，共 26 页 则面积，且 解方程组 得 从而 又在D 的边界上的等边三角形，面积（k 为自然数）. 由 可得原极限= 从而S 在 处取得最大值，因而 面积最大的三角形为边长为 6． 求极限 【答案】令 7． 求下列函数的极值点： 【答案】(1) 解方程组 得稳定点(a ，a ) ，(0，0) ， 由于 所以(a , a) 为极大值点， 所以(0, 0) 不是极值点， (2) 由 得稳定点(1, 0) ， 故函数f (x ，y ) 在点(1，0) 取得极小值. (3) 解方程组 得稳定点 第 4 页，共 26 页