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一、证明题

1． 证明：由曲面S 所包围的立体V 的体

积

为曲面S 的外法线方向余弦。

【答案】因

故原公式成立。

2． 设

为开集

因为

均为可微函数，证明

：在处可微，所以

又

由

在

处可微，知f

在所以

这表明，

在处可微，且

由的任意性，知

在上可微，且

处连续，从

而

在

附近有界，

即

使

也是可微函数，而且

为

其中

【答案】对

3． 设为区间，上严格凸函数. 证明：若数知，对任意

总有

为f 的极小值点，则为，在Ⅰ上惟一的极小值点。

不妨设

由是I 上的严格凸函

【答案】反证法. 若有异于的另一极小值点

因此，对于任意的

与是的极小值点矛盾. 故

只要充分接近0, 总有是在I 上的惟一极小值点。

但是

这

二、解答题

4． 设

应用链式法则计算

即

则

【答案】把看作以下三个变换的复合

5． 求下列函数的导数：

（1）（2）（3）（4）（5）（6

）

以及

（7）（8）【答案】⑴

在点x 三阶可导，

且

>

表示

.

若

存在反函

数

试用

（2）对等式两边关于x 求导得

当x=0时，由原方程解得y=0, 将x=0, y=0

代入上式得（3）令

则

于是

解得

（4）易知对

两边取对数得

两边再关于X 求导得

于是

（5）对等式即

于是由参变量函数求导法知

两边关于t 求导得

又