2017年曲阜师范大学管理学院750数学分析A考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数在
上连续，在
内可导，且
证明：存在
【答案】因为
因而取存在
使得
2． 设f (x ) 为[a，b]上的有界可测函数，且
【答案】(反证法) 假设令
则必然存在某个
使得
这与题设矛盾，所以原命题成立. 3． 设
【答案】由
证明：级数
收敛.
那么
证明：f (x ) 在[a, b]上几乎处处为0.
则函数F 和G 在
上满足柯西中值定理的条件. 于是
使得
知，当n 充分大时有
所以级数收敛. 由条件
知
与有相同的敛散性，
从而收敛.
二、解答题
4． 求由抛物线
【答案】
因为
面积为
其中
所以
5． 设有一半径为R 的球体，是此球的表面上的一定点，球体上任一点的密度与该点到离的平方成 正比(比例常数
) ，求球体的重心位置.
以的球心为坐标原点0, 射线
密度函数为
设重心坐标为
由对称性可知，
而
故
与直线所围图形的面积. 的交点为
与
所以由这两条曲线所围图形的
的距
【答案】方法一记所考虑的球体为为x 轴的正向建立坐
标系，则点的坐标为(R ，0，0) ，球面方程为
因此球体的重心位置为方法二选取
为坐标系的原点，球心坐标为(0，0，R ) ，则球面方程为
而此时密度函数为
设重心坐标为
由对称性知，
而
故
因此球体的重心坐标为
6． 计算下列积分：
与三个坐标面所围成的区域；
所围成的区域.
【答案】
(3) 积分区域V 如图
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