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一、证明题

1． 证明：数.

【答案】

由

的凸性知

所有

即

.

故

为上的凸函数.

在[a，b]上可导，且存在M>0，使得对任意正整数n

和

成立. 证明：如果级数

【答案】使得

因当令不妨设

收敛，存在正整動时有

对任意正整数p 都成立当n>N时，

于是

在[a，b]上收敛，则必一致收敛.

有

2．

设函数列

为

上的凸函数

.

因为函数.

为

上的凸函数，所以

为区间

上凸函数

函数

为

上的凸函

取正整数m 充分大，将[a，b]m等分：

从而

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在[a，b]上一致收敛.

3． 设

证明：【答案】因处

设

在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数，有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得.

在有界闭区域D 上连续，故由连续函数的最值性知f (x ，y ) 在D 上一定可取

得最大值和最小值，下证f (x ，y ) 在D 的内部不能取得极值，这里只需证明在D 内任何点(x, y )

即可.

对D 内任何点(x，y ) , 由于. 故又

.

即A+C, = 0, 而

所以

故f (x , y) 不可能在D 内部取得极值，f (x , y) 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得.

二、解答题

4． 设

【答案】

又

5． 求边长为a 密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.

【答案】如图求

设密度为

则

试验证

并求

图

6． 设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设

，则

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在点的邻域内

且

因此只需在

1在

的某邻域内连续，则

时，方程

上展开成傅立叶级数，并求级動在

上是偶函数，有

在

的某邻域内连续. 所以，当

就能惟一的确定为的函数. 的和.

的某邻域内连续，且

在

7． 将函数

【答案】

于是，取

8． 设

(1) 求f 的傅里叶级数展开式； (2) 讨论f 的傅里叶级数在【答案】(1) 由于f 在

上是否收敛于f ，是否一致收敛于f? 上为奇函数，故

所以f 的傅里叶级数展开式为

(2) 因为f 在

上除x=0外都连续，故当

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得

，解得

且时，有