2017年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本,
为其次序统计量, 令
证明【答案】令作变换
其中
函数为
该联合密度函数为可分离变量, 因
而
2． 设
是取自二维正态分布
相互独立,
且
其雅可比行列式绝对值为
, 联合密度
相互独立.
则
的联合密度函数为
的一个二维样本, 记
试求统计量【答案】容易看出
的分布.
仍服从正态分布. 且
所以另外,
类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且
于是根据t 变量的构造可知
这就是我们要求的分布.
3． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
其中（2）若（0,
当
时, 有
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3
）由
与（2）可知
4． 设
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
的相互独立性可导致
分布函数, 即
（2）. 相互独立, 由（1）
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
5． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
6． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
即A ，B 相容.
, 所以
又因为
所
时,
和
则
的密度函数为
则
所以
当
与
从而
的有效性最差.
则
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
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