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一、证明题

1． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

,

【答案】对任意的即

结论得证.

2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

3． 设

证明:

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证. 为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

4． 设

【答案】一方面

另一方面

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其中

【答案】因

服从大数定律. 证明：

5． （1）设布函数

其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为

做变换

的联合密度为

由此可以算得

的边际密度为

的分布函数为

（2）对于指数分布

由（1）中结果, 有

6． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

则

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为

,

于是

与

时, 样本极差

的分布函数.

和

分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差

的分

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7． 设随机变量序列UJ 独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

8． 设

证明： （1）（2）【答案】（1）由

是

的有效估计； 是知

的无偏估计，但不是有效估计.

为了获得

时, 有

当, 结论得证. 是来自正态总体

时, 有

令

的一个样本，若均值μ已知，

的元偏估计的C-R 下界，

需要费希尔信息量，大家知道，正态分布的密度函数p （x ）的对数是

由此得的费希尔信息量

从而的无偏估计的C-R 下界为

是

的有效估计.

此下界与上述无偏估计的方

差相等，故此

（2）由于

可见，

即是的无偏估计，其方差为

为了获得的无偏估计的C-R 下界，需要知道的费希尔信息量，由于

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