2018年中国矿业大学(徐州)理学院835概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】一方面
另一方面
2． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
有
独立同分布，且
令
试证明:
其中c 为常
，证明:
3． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
4． 设随机变量
【答案】
5． 设
（1）
各以
的概率取值
且假定
与相互独立. 令
证明:
，试证明:
（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以（2）因为
且X 与Y 相互独立，所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式
考虑到而
6． 设随机变量X 取值
【答案】
故有
所以
的概率分别是
. 证明
:
即X 与Z 不独立.
7． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
8． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
9． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
10．设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
的特征函数，由唯一性定理知
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
.
利用此结果计算
且X
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
是来自该总体的一个样本，
为的任一
二、计算题