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一、证明题

1． 设是来自泊松分布的样本，证明:当样本量n 较大时，的近似置信区间

为

【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，，

此可作为枢轴量，对给定

利用标准正态分布的

分位数可得

括号里的事件等价于

. 因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为和，

则有，

其中

和

可表示为

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似置信区间可进一步简化为

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因而

2． 设是来自的样本，证明

为

没有无偏估计.

的无偏估计，则

【答案】（反证法）假设

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即

3． 设

没有无偏估计.

处不存在导数.

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明:（2）计算

和

和

的均方误差并进行比较；

都是的无偏估计；

的估计中，

，故

最优.

，

（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为

，

记

，则Y 的密度函数为

于是有

这表明

也是的无偏估计.

故有

又

从而

由于（3）对形如

，因此在均方误差意义下，的估计有

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（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

优于 ，故

»

因此当在形如

4． 设二维随机向量

时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，

的估计中，

最优.

服从二维正态分布，且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知

所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明.

5． （1）设分布函数

其中

与

分别为总体的分布函数与密度函数.

时，样本极差

的分布函数.

做变换

其逆变换为

雅可比行列式绝对值为

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和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量，证明极差的

（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布【答案】（1）

与

的联合密度函数为