2018年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
这就证明了
且X 与Y 独立，
证明
的密度函数关
的特征函数，由唯一性定理知的容量为
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
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的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，
2． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量
则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
3． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的样本中位数是
与
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
4． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
是充分统计量. 的条件密度函数为
与
是偶函数，从而
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
【答案】由条件，
它与无关，从而
5． 设
是来自
是充分统计量. 的样本，证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即
6． 设
没有无偏估计.
处不存在导数.
【答案】（反证法）假设
独立同分布，其共同的密度函数为
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（1）证明:（2）计算
和
和
的均方误差并进行比较；
都是的无偏估计；
的估计中，
，故
最优.
，
（3）证明:在均方误差意义下，在形如【答案】 （1）先计算总体均值为. 这说明是的无偏估计. 又总体分布函数为
，
记
，则Y 的密度函数为
于是有
这表明
也是的无偏估计.
故有
又
从而
由于（3）对形如
，因此在均方误差意义下，的估计有
优于
，故
»
因此当在形如 7． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
是来自几何分布
的样本，证明
是充
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，
的估计中，
最优.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
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