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一、证明题

1． 1) 证明：若数列

满足下列条件之一，则

是无穷大数列：

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列. (2) 因为

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

因为r>l, 所以

2)(1)

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，即

是无穷大数列.

的实数，由数列极限的保号性知，存

，由

知

是无穷大数列，

所以对于

存在正整数N ，使得当n>N

在正整数N ，使得当n>N时，

根据上题(1) 的结论有

(2)

于是

所以

故

2． 证明：设f 为幂级数项，若f 为偶函数，则

【答案】由当

为奇函数时，

又

故此时有

当

为偶函数时，

又

3． 设正项级数

【答案】

收敛. 证明：级数收敛，则

令

则

级数

的部分和为

从而级数

4． 设

收敛。

为可微函数，证明函数

满足弦振动方程

及初值条僻

在上的和函数，若f 为奇函数，则级数

仅出现奇次幂的

仅出现偶次幂的项.

故此时有

也收敛，其中

为二阶可微函数，

【答案】

所以

二、解答题

5． 设函数

【答案】若

使

若若这与对

6． 计算曲线积分

和点【答案】

其中

和

为连续函数; AMB

为连接点

7． 设

在[0, 1]上连续，在（0, 1）内有二阶导数，且

求证： （1）函数

在

内恰有两个零点；

在区间上二次可微，且有界. 证明：

. 使得

则

必变号. 若不然，

不妨设

咐，有

使得

变号，由导数的介值性，

则当则当

.

并令并令

下证：在题目的条件下

，严格递增.

取

时，有

有界性假设相矛盾.

可类似地证明.

的任何路线，但与直线段AB 围成己知大小为S 的面积。