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一、证明题

1． 设

【答案】由故

且满足即

求证

：

有下界，又由则

的极限存在，并求出极限值.

存在，若

由广义极限的四则运算法则，有

由此可见

进一步由极限的四则运算法则，有

即得

2． 设

在即

上三阶可导，证明：存在实数使得

【答案】若存在一点立. 因此，不妨设

不失一般性，假设则

而且当

进而，

不失一般性还可假设

则

有

于是，在

的假设下证明本题的结论.

由泰勒公式，

有

其中在X 与a 之问. 由此可知，存在再由泰勒公式，有

其中在x

与

则

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使得.

这是因为，若. 使

中有一个为零，则结论显然成

考虑

时，

. 这是因为，若

.

则必有考虑

时，必

而且当，

使得

当

之间. 由此可知，存在

当时若取

3．

设

为区间

上的连续函数，

且证明：

存在

使得

【答案】因为

得

又因为

.

为区间上的连续函数，所以存在最大值与最小值，即存在M , m ，使

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，存在

4． 令f 是R 上周期为

的函数，当

时满足

使得

(1) 证明f 的傅里叶级数具有形式并写出的积分表达式. (2) 该傅里叶级数是否一致

且

收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. (3) 证明

【答案】(1) 由于

.

(2) 不一致收敛. 由傅里叶级数收敛定理知

由于(3) 由干

在

上连续，但和函数在

是奇函数，所以f 的傅里叶级数具有形

另

上不连续，所以该傅里叶级数不一致收敛.

上可积且平方可积，所以Parseval 等式成立

二、解答题

5． 在

上给定

及函数

证明：无界函数【答案】作的剖分

在上可积.

令

则

为了估计上界，把分成三类：以(0, 1) 为心，以5为半径的圆记作U , 整个落在U 内的

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归

作第一类； 不完全落在U 内的整个落在

，要么整个落在正方形内，归作第二类；要么

上，归作第三类. 容易看出

令得

故

6． 求下列极限：

（1）【答案】⑴

（2

）

（2）

7． 设

求

【答案】方法一：由配方得到

其中原式

作变量代换

则有

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