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一、证明题

1． 求证:

(1)

若(2)

若

则则

，所以对任给定

存在m ，当

时，便有

于是，对

【答案】(1) 因为有

注意到，当取定时，这样，当

时，有

从而(2) 因为

对

应用第(1) 小题结论，

即得

2． 证明下列结论：

(1) 若(2) 设在

而数列

在与

上严格递增，且对在

则

上有定义，

单调，对任意正整数

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

再证：当

由

时有

(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

使得

即

单调递増，则有

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便是一个有限数，再取

使得当时，有

有

则. 使得

不以

则 已知

从而

有为极限，从

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

的子列

知

时有

(2) 不妨设单调递增. 对

矛盾. 从而当

3． 给定两正数

与

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

，所以

为单调递减，

时有与等比中项

即

，一般的令

证明:与

【答案】由又因为因此，

因而

为单调递增. 并且

对

即都是有界的. 根据

两边取极限，得

单调有界定理知的极限都存在.

设

|于是a=b, 即与皆存在且根等.

4． 设函数f 在区间上满足利普希茨(Lipschitz ) 条件，即存在常数

都有

证明:f 在上一致连续. 【答案】对任给的

故f 在I 上一致连续.

取

则当

且

时，有

使得对上任意两点

二、解答题

5． 设

【答案】由于

求

可微，故

6． 设f 为连续可微函数. 试求

【答案】

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并用此结果求

由于

7． 把函数

所以

在(0，1) 上展开成余弦级数，并推出

【答案】将f (x ) 作周期为2的偶延拓，得一连续的延拓函数

.

由收敛定理，在(0，1) 内

当x = 0时，因延拓函数连续，故上式右端收敛到f (0) ，

即

8． 求锥面

被柱面

所截部分的曲面面积.

且

设曲面面积为S ，则

9． 计算积分

【答案】令

10．设向量函数

定义如下

其中定了唯一的

隐函数

并求

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【答案】由于曲面在xy 平面上的投影区域为

证明：在点的某邻域内，向量函数方程确