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一、证明题

1． （1）设（2）试将【答案】（1）

与pauli 算符对易，证明

表示成

的线性叠加. 其中为单位算符.

利用

化简可得：

（2）

2． 证明厄密算符的本征值是实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄密算符？ 【答案】以表示的本征值

由此得

表示所属的本征函数，则

即是实数。

因为是厄密算符，于是有

二、计算题

3． 在并将矩阵

的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.

其中本征函数：

求

的本征值和归一化的本征函数，

【答案】（1）设的本征方程为：

容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为

（2）将表象中的三个本征矢并列，得到从表象到

表象变换矩阵

利用变换公式：

4． 考虑一维双势阱：

得到的对角化矩阵

其中

（1）推导在x=a处波函数的连接条件. （2）对于偶宇称的解，即征值的数目.

【答案】（1）薛定谔方程可表示为

OT 为粒子质量，

为方程的奇点，在x=a点处

对上述方程积分

得出

（2）由题意知当x ＞a 时，

当-a ＜x ＜a 时，

其中

其中

考虑到束缚态，因此解为

考虑到偶宇称，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

化去A , C后可得，

此即能量本征值所需要满足的方程

.

不存在，表现为

不连续。

求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本

图

所以满足此方程的本征值只有一个.

5． 证明是线性谐振子的本征波函数，并求此本征态对应的本征能量. 式中A 为归一化常数

，

【答案】已知线性谐振子的定态波函数和本征能量为

本题中波函数

所以

是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2, 因此容易得到其，本征能量为

6． 设一维粒子的HamiltonianH ，坐标算符为x. 利用利用能量本征态的完全性关系，

将

用

【答案】利用

于是

7． 已知（1）利用

（2）求

在

的本征态

在

可得即是泡利矩阵

，表象中的表达式，求

在

可由

的本征态经绕x 轴转动

表象中的本征态矢

试由此

角的坐标变换而得，即

和E. ，表出，其中

是能量本征值为E. ，的本征矢。

表象的表达式，并与（1）所得结果比较。

【答案】（1）易知：

设

本征矢

则

即

（2）由题意可得：