2017年福建农林大学资源与环境学院610高等数学考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 利用等价无穷小的性质，求下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）
； （n 、m 为正整数）
（3）
注:在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换。例如，本题中若将分子中的tanx 、sinx 均换成x ，那么分子成为0，得出极限为0， 这就导致错误的结果。
（4）
2． 求函数
【答案】解方程组
求得驻点
。
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的极值。
又
由判定极值的充分条件知，在点
处，函数取得极小值
5.
求函数
答:条件由
在适合附加条件
可表示成，得
下的极大值。 ，代入。又
由一元函数取得极值的充分条件知，
为极大值点，极大值为
3． 把积分
化为三次积分，其中积分区域是由曲面
及平
面y=1，z=0所围成的闭区域。
【答案】为一曲顶柱体，其顶为
2
，底位于xOy 面上，其侧面由抛物柱面y=x
，则问题化为求的极大值。
及平面y=1所组成。由此可知在xOy 面上的投影区域
因此
4． 过点
（
）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均
的点的坐标各有什么特点?
【答案】如图所示，过相同，纵坐标也均相同.
而过点
且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.
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图
5． 求球体r ≤a 位于锥面
和
之间的部分的体积。
为立体所占的空间区域，有
6． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
【答案】用球面坐标计算，记
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
7． 设质量为100kg 的物体从点
【答案】
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（3, 1, 8）沿直线移动到点
，计算重力所作的功（1, 4, 2）
（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.
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