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一、计算题

1． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:

（1）（2）

x

与（两部分都要计算）;

与直线y=x及x=2；

-x

（3）y=e、y=e与直线x=1；

（4）y=lnx，y 轴与直线y=lna，y=lnb（b>a>0） 【答案】（1）如图1，先计算图形D 1的囱积，容易求得的窄条面积近似于高为

与

的交点为（-2，2）

和（2，2）. 取x 为积分变量，则z 的变化范围为[-2，2]，相应于[-2，2]上的任一小区间[x，x+dx]

、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图形D 2的囱积为

（2）如图2，取x 为积分变量，则32的变化范围为[l，2]，相应于[l，2]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为

，底为dx 的窄矩形的面积，因此有

图1 图2

（3）如图3，取2为积分变量，则x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为e x -e -x 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有

（4）如图4，取y 为积分变量，则y 的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lInb]上的任一小区间[y，y+ dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为e 的窄矩形的面积，因此有

y

图3 图4

2． 建立以点（1，3，﹣2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.

【答案】设以点（1，3，﹣2）为球心，R 为半径的球面方程为

球面过原点，故

从而所求球面方程为

3． 求下列不定积分:

【答案】

（10）

（11）