2017年华中科技大学数学与统计学院801高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算
，其中
是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
【答案】解法一:容易看出
，区域
由
和
的顶为平面
，底为平面
，
在
面上的投影
可用不等式表示为
因此
所围成的闭区域.
所围成。故
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
2． 以初速v 0竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是:
（1）该物体的速度v （t ）; （2）该物体达到最高点的时刻。 【答案】（1）
，故
。
，求:
也
关于是积函数（即
（2）物体达到最高点的时刻v=0，即 3． 求
，其中
。
【答案】
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4． 某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙，且这两种产品的边际成本分别为两种产品的产量分别为x （件）和y （件）6+y（万元/件）。
（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数C （x ，y ）（万元）;
（Ⅱ）当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; （Ⅲ）求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 ，
【答案】（l ）假设生产甲乙两种产品的总成本函数为C （x ，y ）由于边际成本是积分得因此又由于
所以总成本函数
（2）总产量为50件，即则
所以当y=26时，C （y ）取最小值11118，此时x=24。 即当x=24，y=26时，总成本最小此时甲产品的边际成本是
。
（3）当x+y=50且总成本最小时，x=24，y=26。
，将
代入到C （x ，y ）中
，故代入求得和
，所以可得
，即
。
。
。
（万元/件）与
此意义是要求总产量为50件时，在甲产品24件时。此时要改变一个单位产量时，成本会发生32万元改变。
5． 求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求
（1） 90°F 的等价摄氏温度和-5°C 的等价华氏温度;
（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的? 如果存在，那么该温度值是多少?
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【答案】设F=mC+b，其中m ，b 均为常数。 因为F=32°相当于C=0°，F=212°相当于C=100°，所以或
（1）
（2）设温度值t 符合题意，则有
6． 求下列幂级数的收敛区间：
【答案】（1）
因
故收敛半径为（2）
收敛区间为
因
即华氏-40°恰好也是摄氏-40°。
，故F=l.8C+32
故收敛半径为（3）令因
级数的收敛区间为
（4）令
，原级数成为
由第（3）题知该级数的收敛区间为
因
即
收敛区间为
先讨论级数
的收敛区间。
的收敛区间为
从而原
故收敛半径
故原级数的收敛区间为
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