2017年西安理工大学769数学综合之概率论与数理统计教程复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ），设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取
）？
【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，
则
由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，且为了
能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题
为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验，若接受本t 检验；若
不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题
观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体的
则
.... 故拒绝域为
由于
因此在显著性水平
时，应接受原假设
即使用原料B 生
由所给条件，计算得
计算如下检验统计量
若取拒绝域为若取
贝
!J
可以使用两样
可
方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，
产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.
2． 从数字0, 1, …, n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望.
【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字, 则
所以
3 设各零件的质量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学期望为0.5kg , 标准差．
为0.lkg , 问5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？
【答案】记
为第i 只零件的质量, 由
得
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为
这表明:5000只零件的总质量超过2510kg 的概率近似为0.0787.
4． 设回归模型为
试求
的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？
【答案】似然函数为
其对数似然函数为
导并令导函数为0，得到如下似然方程组
经过整理可以解出
可以看到
的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的.
，将其分别对（忽略常数项）
求
5． 掷三颗骰子，求以下事件的概率：
（1）所得的最大点数小于等于5；
（2）所得的最大点数等于5. 【答案】这情况相当于从为所得的最大点数，则
（1）（2）
中有返回地任取三个，所有可能为重复排列数
中有返回地任取三个，所有可能为
这是分若记Y
母，而“最大点数小于等于5”，相当于从
6． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.
【答案】记事件A 为“目标被击中”，事件
所以
考虑到
故有
7． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
求条件概率【答案】因为图的阴影部分,
所以当-1 因而当-1 所以当0 由此得 . , 故先求 . 而 的非零区域为 为“甲射中目标”，事件 为“乙射中目标”.因为