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一、证明题

1． 设X 为非负连续随机变量，若

（1）（2）

存在，试证明：

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.利

用

得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以

也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

则

2． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

3． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

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独立，由此得

即

证明:

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

所以

故有

即X 与Z 不独立.

4． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

5． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了

6． 证明

：

【答案】不妨设另一方面，还有

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所以由单调性知从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

对一切的

存在，

则

综合上述两方面，可得

7． 设

为独立随机变量序列, 且

证明:

服从大数定律.

相互独立, 且服从大数定律. 证明：

【答案】一方面

另一方面

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

8． 设

【答案】因为

二、计算题

9． 从n 个数1，2，…，n 中任取2个，问其中一个小于k （l

【答案】从n 个数中任取2个，共有当于将1，2, …，n 分成三组：

于是所求事件是从第1组中任取1个且从第3组中任取1个，这共有于是所求概率为

10．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率

【答案】掷两颗骰子的样本空间为

种等可能的取法. 而其中一个小于k 、另一个大于k 相

种取法.

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