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一、证明题

1． 设

【答案】若

, 证明:

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在

上是严格单调增函数, 其反函数

为

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

独立，由此得

即

，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）

3． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

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2． 证：事件A 与B 独立的充要条件是

【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由

,

样本方差分别为

证明:

由

得

4． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

5． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

6． 设

（1）（2）（3）

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

【答案】先求三个统计量的数学期望，

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这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

从而

的有效性最差.

则

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

7． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

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是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

它们的关系为