2017年桂林理工大学理学院874概率统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设二维随机变量
服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知, 结论成立.
2． 证明:若
则对
有
并由此写出
与
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是
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于
将两者代回可知, 在
时, 若r 为奇数, 则
若r 为偶数, 则
证明完成. 进一步, 当r=l时
, 时,
3． 设
（此时要求
为自由度为n 的t 变量, 试证:
（此时要
求否则方差不存在）.
的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
, 其中
其
中
否则均值不存在）, 当r=2
【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为
, 且X 与Y
, 考察其极限知
, 劼的特征函数为
由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知
这就证明了的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.
4． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】
5． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
6． 设分别是UMVUE.
【答案】由于
满足
即A ，B 相容.
是
因此
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的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , 分别是
的UMVUE , 故
且对任意一个于是
的
由判断准则知
是的UMVUE.
7． 设是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
8． 设0 【答案】由条件 9． 设总体 【答案】 由于总体 均方误差为 将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当 时， 最小. 且 这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差. 10．设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的 有 得 再由上题即得结论. 是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合 下存在优于的估计. 现考虑形如 的估计类，其 所以 估计和无偏估计，试证明在均方误差准则 【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则 第 4 页，共 46 页