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一、证明题

1． 试应用

定义证明

:

时,

从而对任给

取

则当

时,

所以

2． 若级数

证明级数【答案】

由

收敛,

由比较原则得正项级数如如果取

3． 证明数列

【答案】由

可知又

单调递减, 从而

解得

【答案】因为当

与都收敛, 且成立不等式

也收敛. 若

可得

收敛, 从而满足不等式且

与发散.

并求极限

,

都发散, 试问

一定发散吗？

与

,

. 都收敛, 故正项级数都发散. 收敛.

未必发散.

又级数收敛. 若

均发散, 但

为发散的正项级数, 则必有收敛, 其中

有下界.

存在

.

4． 设

（1）因为（2）同理

记（2）所以

证明:

【答案】（1）由题意知

5． 设f 为连续函数, u 、v 均为可导函数, 且可实行复合

与

证明:

【答案】取f （x ）定义域内一点a , 则则

, 且

于是

6． 设p 为正整数. 证明:若p 不是完全平方数, 则

【答案】反证法. 假设使得

7． 设

于是

这与m , n互质矛盾, 所以

, 证明函数

在D 上不可积.

【答案】对D 上任意分割

, 若在每个取点

若在每个

取点在（当

,

使

为非有理点,

则

因此

的极限不存

, 使

. 皆为有理数, 则

是无理数. 由此得

是无理数.

由于

所以存在质数

于是

令

,

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n ,

且

时）. 即f （x , y ）在D 上不可积.

二、解答题

8． 求下列极限:

（1）（2）【答案】（1）

在区域

上连续. 因此

（2）

9． （1）设

为正项级数, 且

能否断定, 能否断定级数

收敛？

不绝对收敛, 但可能条件收敛？

使得

发散.

从而

故

发散. , 则存在

10．计算五重积分

其中V :

【答案】当n=5时, 取m=2, 则

11．讨论级数

的敛散性.

满足条件, 但若取

, 可知

收敛, 但对任意的

（3）不一定. 如取

（2）对于级数（3）设

在区域

上连续, 因此

为收敛的正项级数, 能否存在一个正数

,

则且

但

【答案】（1）不能. 如取（2）不能. 由题意知

【答案】用柯西收敛准则. 取显

然

,

, 让自然数k 适当大, 取

, 考

察

,

因此

. 注意到,

当

时,

有