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一、证明题

1． 设f 为[a, b]上二阶可导函数, 点

由同理, 存在又因为存在

2． 证明:

【答案】因为

所以

在

使, 使得

使得

使

得

.

. 于是有

, 并存在一点

使得

证明至少存在一

【答案】因f （x ）在[a, c]上满足拉格朗日中值定理, 故存在

上可导, 由拉格朗日中值定理知,

所以

3． 设

是无界数列, 又因为

界数列.

是无穷大数列. 证明:

必为无界数列.

存在自然数N ,

当因此

即

时,

有是无

有

【答案】

因为是无穷大数列,

所以对任意大正数是无界数列, 所以总存在

4． 设f 在[a, b]上有界

,

则f （x ）在[a, b]上可积 【答案】设在N ,

当n>N时,

,

上可积, 因此, 存在

在

. 证明:若f （x ）在[a, b]上只有上的振幅为,

, 取

因

为其间断点,

, 所以存

, 从而f （x ）在

上的分割T%使

上至多只有有限个间断点, 由定理知f （x

）在

把

与合并, 就构成[a, b]的一个分割T , 则

（这时为f （x

）在

5． 证明

【答案】分部积分, 有

*

上的振幅）. 故由可积准则知, f （x ）在[a, b]上可积.

6． 试证明

【答案】令

则

于是原不等式左边变为

.

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7． 证明:

函数

【答案】下面用归纳法证明当n=1时,

在x=0

处n 阶可导且

,

其中, 命题成立.

设

, 其中n 为任意正整数.

为次数不超过

3n 的多项式.

, 其中

满足要求, 则

因为故

的次数不超过3n , 所以

的次数对任意

的次数不超过（3n-1）, 于是

所以

成立. 由于对任意的

二、解答题

8． 计算下列反常积分的值:

（1

）（

3

）【答案】 （1）

（2）

（3）

（4）令

, 则

, 由（3）的结论得

9． 求

（a 为常数）.

时,

;

（2）

（

4）

;

【答案】（1）当