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一、证明题

1． 按定积分定义证明

:

【答案】对于和为

从而

可取为任何正数, 只要使

, 就有

根据定积分定义有

与

证明:

【答案】取f （x ）定义域内一点a , 则则

, 且

于是

3． 设f （x ）在区间上有界, 记

, 因为, 即M-m

是

对

, 由

知

, 使得

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的任一分割

, 任取

相应的积分

2． 设f 为连续函数, u 、v 均为可导函数, 且可实行复合

令,

证明:

’所以有

的一个上界.

. 同理

, 使得

, 所以

,

【答案】对从而

综上所述:

4． 设

是区间I 上有界且一致连续的函数, 求证:

在区间Ⅰ上有界, 则存在的一致连续性得到, 对于任意

使得存在

在I 上一致连续.

使得当

时, 有

【答案】由于再由

从而

所以

在区间Ⅰ上一致连续.

是的一个聚点. 试证:

自

又因为

, 因此.

即是E 的一个聚点,

所以设

又因为

5． 设是集合E 的全体聚点所成的点集

,

【答案】因为

是

的一个聚点, 所以

是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以

6． 证明定理.

【答案】定理:设f , g :微, 且有

证明过程如下:（1）因为f 在x 0处可微, 故根据可微的定义, 有

»

所以

即

（2）又g 在x 0处可微, 故同样有

所以

是两个在

可微的函数, c 是任意实数, 则cf 与

在x 0也可

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即

7． 设

【答案】已知

, 且满足

. 即

证明:

有下界. 又由

可推出

若a=0, 则

, 即

单调递减. 由单调有界定理

, 在不等式

存在, 记为a , 则

可知

矛盾

.

的极限存在, 并求出其极限值.

两边, 令

由此可见a>0.再在不等式

中

, 令

可得

,

即

,

解之得a=1.

二、解答题

8． 计算第二类曲线积分:

【答案】令

则所求的积分为

令

, 则

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, 方向为逆时针。