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2017年延边大学理学院842代数与分析[专业硕士]考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、证明题

1. 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分

【答案】因为

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦; 有

圆的参数方程为

从而

2. 试问下面的解题方法是否正确:求限

3. 设a>0,b>0, 证明

【答案】构造函数

展开可以证明,

所以又因为

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其中L 为AB 的弧长,并证明

于是

故由迫敛性知

证明:设

由于

就不存在,不能设

两边取极

得a=2a,所以a=0.

【答案】这个解题方法是错误的. 因为

递增.

所以原命题成立.

二、解答题

4. 举例说明:瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

故瑕积分

5. 求曲面方程

知Po 应满足:

解得

故所求切平面为:

6. 应用高斯公式计算下列曲面积分:

其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面

面,方向取外侧;

其中S 是单位球面其中S 为上半球面

【答案】

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收敛,但

发散

的切平面,使其垂直于平面

【答案】设曲面在点,:处的切平面垂直于所给两平面,由曲面在点P 。处切平面

的外侧;

的表面的外侧;

与平面

所围空间区域

的表

的外侧;

的外侧。

由柱面坐标变换

(4) 原式

(5) 原曲线不封闭,故添加辅助曲面

7. 求下列全微分的原函数:

(1) (2) (3)

【答案】(1) 由于

从而积分与路径无关,其原函数

(2)

由于故其原函数

或(3) 由即

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从而积分与路径无关,

易见积分与路径无关,故原式为某一函数的全微分,令

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