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一、证明题

1． 证明曲线积分的估计式：利用上述不等式估计积分

【答案】因为

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦； 有

圆的参数方程为

而

从而

2． 试问下面的解题方法是否正确：求限

3． 设a>0，b>0, 证明

：

【答案】构造函数

展开可以证明，

所以又因为

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其中L 为AB 的弧长，并证明

并

于是

故由迫敛性知

证明：设

由于

就不存在，不能设

两边取极

得a=2a，所以a=0.

【答案】这个解题方法是错误的. 因为

递增.

所以原命题成立.

二、解答题

4． 举例说明：瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

故瑕积分

5． 求曲面方程

知Po 应满足：

解得

故所求切平面为：

6． 应用高斯公式计算下列曲面积分：

其中S 为单位球面其中S 是立方体其中S 是锥面

面，方向取外侧；

其中S 是单位球面其中S 为上半球面

【答案】

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收敛，但

发散

的切平面，使其垂直于平面

和

【答案】设曲面在点，：处的切平面垂直于所给两平面，由曲面在点P 。处切平面

的外侧；

的表面的外侧；

与平面

所围空间区域

的表

的外侧；

的外侧。

由柱面坐标变换

(4) 原式

(5) 原曲线不封闭，故添加辅助曲面

有

7． 求下列全微分的原函数：

(1) (2) (3)

【答案】(1) 由于

从而积分与路径无关，其原函数

(2)

由于故其原函数

或(3) 由即

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从而积分与路径无关，

易见积分与路径无关，故原式为某一函数的全微分，令