当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

【答案】设

其中f 为可微函数，验证

则

所以

2． 设f 在

【答案】(1) 设是，当

时，有

上连续，且

则对于

存在. 证明：f 在存在正数

上有界. 又问f 在使得当

时有

上有界.

在上无最大值.

上恒正或恒负. 即

的

上连续，

且有

在证明因此

时，有

上必于

上也连续. 于是，

对一切

有最大值或最小值吗？

因为f 在即f

在

(2) f

在

但f (x ) 在

3． 设

符号一致. 又因为

上无最小值. 而的最大零点为所以

上连续，所以f 在闭区间

根据连续函数的有界性知，存在正数G ，

使得当

上不一定有最大值和最小值.

例如

【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在

二、解答题

4． 计算第二型曲线积分：

(1)(2)(3)(4)

其中L 为螺线其中L 为圆周，其中L 为其中L 为从

第 2 页，共 25 页

沿t 增加方向的一段；

依逆时针方向；

与z 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；

的直线段.

【答案】(1)因

，从而

(2)由圆的参数方程(3)

则

(4)直线的参数方程是：

5． 设

【答案】对方程组

关于x 求导得

解之得

试求

6． 从等式

出发，计算积分

【答案】

因为

以

7． 求曲面

在

内连续，而且由M 判别法知

的切平面，使它平行于平面

的切面和平面.

第 3 页，共 25 页

在内一致收敛，所

平行，又在该点的切面为

【答案】设曲面上过点

故所以

处的切平面与所给平面平行，在以处切平

求

代入曲面方程得

所以面为

8． 设

【答案】因为

可见在点

在

和点

处切平面为

所以由链式法则得到

最后以

9． 研究函数

【答案】当

时，

代入即可. 的连续性.

当

时，

当x=l时，

当

时，

无定义

.

第 4 页，共 25 页