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一、证明题

1． 设f (x ) 在

上可积，则

【答案】先证明事实上，由且

根据有

特别地，有

由f (x ) 在又因为

上可积可知，它在所以对上述，

上有界，即

当

于是，

当

时，有

即

2． 求证:

(1) 若

(2) 若

有

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在

收敛(即法，

在

上一致收敛. 关于y —致收敛) 及上一致收敛. 于是，

关于x 单调(

当

固定)

时

，

有

时，

有

则则

【答案】(1) 因为，所以对任给定存在m ，当时，便有于是，对

注意到，当取定时，这样，当

时，有

从而(2) 因为

对 3． 证明

【答案】

将

是

故

即

作偶延拓到

上，再在

外作周期延拓，于

应用第(1) 小题结论，即得

便是一个有限数，再取

使得当

时，有

二、解答题

4． 计算下面的三重积分：

⑴(2) 其中

则

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【答案】(1) 作柱坐标变换：

(2) 作新坐标系换(

从坐标系

使轴过点

且使坐标系

到坐标系

之间的变换为正交变到坐标系则由(1) 知

5． 设

定义函数

【答案】函数

在D 上可积，且

证明：因为

在D 上的不连续点都分布在线段

则

于是

6． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积

，

【答案】设区域

那么在变换

下，区域

波 对应地映为

此时有

于是有

因此，所求面积为

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坐标系可通过旋转变换来实现，

因此从坐标系之间的

正交变换是存在的) ，变换的行列式为1.

显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记

上，

由可积的充分条件知

它们的面积分别为其积分和为

在D 上可积。对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域

在上任取一点