当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设f 为

上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在

上一致收敛于f , 则成立帕塞瓦

尔(Parseval ) 等式：

这里

为f 的傅里叶系数.

因为f (x ) 的傅里叶级数在

上一致收敛于f ，所以，任给

时，

所以从而，由式

可得

2． 设在

上连续，

证明

【答案】因为

所以

从而

3． 设

(1) 存在

在

使

(2) c 的最小值为.

第 2 页，共 30 页

【答案】设

存在N , 当时，有

故对上述的当

上连续可导，证明：

【答案】(1) 将则

在上展开成正弦级数

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见，只要式，

故c 的最小值为

4． 证明棣莫弗

【答案】设

.

公式

代入欧拉公式得

上述不等式总成立.

使式(1) 中等号成立. 易见，当

时，式

变成等

(2) 为求c 的最小值，必须求

二、解答题

5． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】设因此，

是

的原函数，

且

也是周期函数。

6． 求下列函数的高阶导数：

【答案】

第 3 页，共 30 页

由莱布尼茨公式有

7． 已知g 为可导函数，a 为实数，试求下列函数f 的导数：

【答案】

8． 将函数

在上展开成余弦级数.

【答案】将f (x ) 作周期性偶延拓，得一周期为的连续偶函数

.

所以由收敛定理可得在上

9． 试分别举出符合下列要求的函数f :

不存在.

【答案】（1）令（2）令

则

则1不存在.

而

于是

第 4 页，共 30 页