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一、证明题

1． 按

(1) (2) (3)

【答案】(1)

对任意

(2) 因为

由

所以

对任意

由

得

取

则当故

(3) 当n 为偶数时，

当n 为奇数时，

对任意

2． 设

在

上连续，在

使

【答案】(1) 令

(2) 将结论中

换成即

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定义证明：

则当时

.

故

时，

取则当时，内可导，且

故

必存

在

使

试证：(1

)

(2) 对任意实

数在

对应用根的存在定理即可.

亦即或

由此可见，令

3． 试证明：二次型和最小值恰好是矩阵

对

在

.

上应用罗尔定理即可. 在单位球面

上的最大值

的最大特征值和最小特征值. 【答案】设

令

Z 结合④式，得

由

知是对称矩阵

的特征值. 又f 在有界闭集值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值.

4． 设

，求证：当

时，有

【答案】方法一：由已知条件得

整理化简得

方法二：先由y 的表达式，解出

再两边取微分，得

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上连续，故最大值、最小值存在，所以最大值和最小

二、解答题

5． 讨论下列问题：

（1）

在点

的可导性，其中

（2）（3）的点.

【答案】（1）因为

故由于

故

（2）因为

所以

因

在点只在点

可导，且

都不连续，从而

在点

不可导.

不存在.

则

在点

可微，但在

的任何一个邻域内有不可微

连续，在其他任一点

（3）因为

故取

因为

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