2017年北京师范大学数学科学学院601专业基础(数学分析85分高等代数65分)之数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设则必是则存在一点
使
取
在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点在Ⅰ上的最大(小) 值点。
在I 上的最大值点，
在
使得
(
不妨设则当
) 。由连续函数的最大最小值定理知
，
而是
时，
的一个极大值点，所以存在
即是
的一个极小值
证明：若是的极大(小) 值点，
【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是
上存在最小值m 。因为
点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。
2． 证明：开集与闭集具有对偶性一若E 为开集，则为闭集；若E 为闭集，则为开集.
【答案】(1) 设E 为开集，假设不是闭集，则由闭集定义知设这个聚点为A , 则必有(A ) 中不含有Ee*的点，这与A 是
中至少有一个聚点不属于
因此，U
因为E 为开集，所以存在点A 的某邻域U (A ) ，使
的聚点矛盾，因此，若E 为开集，则为闭集.
的内点，设这个点即U (B ) 中含有E 中的
(2) 设E 为闭集，假设不是开集，由开集定义知中至少有一个点不是为B ，则根据内点的定义知，对点B 的任何邻域U (B ) 都有U (B ) 不含于
点，因此，B 为E 的聚点，但与是闭集矛盾，因而，若E 为闭集，则为开集.
3． 试证：在原点(0, 0) 的充分小邻域内，有
【答案】设
则
故
4． 设f 为R 上的单调函数，定义是，g 的定义域是R ,
由于
即
就有
即当
由的任意性知，g 在R 上每一点都右连续.
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证明在R 上每一点都右连续.
极限使得当
时，把y 限制在
故g (x )
在
都存在. 于
时
内，
右连续.
【答案】设f 为R 上的单调增函数. 根据单调有界原理，对一切
对于任给的
于是，当时
存在
二、解答题
5． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积：
，绕x 轴
绕x 轴；
绕极轴；
绕y 轴。
【答案】
为心形线方程，它在极轴之上部分的参数方程式为
于是
（4）由
得
则
6． 求积分
【答案】而
所以又因为
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所以
7． 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？
【答案】设一段长为x ，则另一段长为
得.
形面积最大。
8． 展开函数
为正弦级数，并指出当
时，此级数之和.
又因为
故
矩形的面积为是
于是，
由
的极大值点. 因此当两段长度均为时，矩
【答案】将f (x ) 作以2π为周期的奇延拓，
故对
9． 求下列函数的麦克劳林级数展开式：
【答案】⑴设又
所以
(2
)
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上述级数收敛于
得