2017年北京师范大学数学科学学院717数学教育综合(数学教学论150分数学分析85分高等代数65分)考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：定义在对称区间(-1，1) 内的任何函数必可以表示成偶函数与奇函数
之和的形式，且这种表示法是唯一的.
【答案】令
则
且容易证明是偶函数，是奇函数.
下证唯一性. 若还存在偶函数和奇函数
满足
则有
用
式有
由①+②可得再代入①式可得
2． 设
证明：
【答案】方法一因有极限点列必为有界点列，故存在
使令
由当
时，有
于是当
时，有
即
方法二设
由可得
所以
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3． 设z=f(x ，y ) 在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数，且
证明：z=f(x , y ) 的最大值与最小值只能在区域的边界上取到.
【答案】由f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，所以f (x ，y ) 在D 上一定能取到最大值与最小值. 对D 内任一点(X ，y ) , 记
由已知条件知
所以
故D 内任一点都不可能是极值点，因此f (x ，y ) 的最大值与最小值只能在D 的边界上取到.
4． 证明：若函数
在点处有
【答案】
假设
使得
当
时
有
可知，存在
取
则当
使得当时，由
则为的极大(小) 值点。
及极限的保号性知，
存在
于是此时
有
时有
由
于是此时有
故为的极大值点。同理可证，
当
时，为f 的极小值点。
二、解答题
5． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：
【答案】（1）
（2）
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（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
因为（8）
发散，故
发散。
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