2017年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研题库
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一、证明题
1． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证
【答案】
2． 设
是来自
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
即
才可实现，这一结论在一般场
注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小.
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合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
3 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立.
【答案】设
则
所以
•由此得
和V=X/Y的联合密度为
所以
可分离变量, 即U 与V 相互独立.
个
4． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
5． 如果
【答案】记因为
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在
, 使当
和时, 有
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下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
. 对任给的
取足够大的和
使
是F （x ）的连续点, 且
令而
, 因为, 故存在使当
, 时, 有
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
6． 设
【答案】若
, 证明:
, 由的任意性知
结论得证.
, 所以有
而对于
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
, 且X 与Y 独立,
7 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量．则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布
8． 总体
（1）证明
的特征函数, 由唯一性定理知
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
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.
为取自该总体的样本，为样本均值.
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