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一、证明题

1． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

2． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明

：

【答案】

3． 设

是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是

的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为

由此可见（2）

是的无偏估计.

是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为

是p （1-p ）的一个无偏估计.

是1/p的无偏估计，则有

由此可见

（3）反证法，倘若

或者

上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.

4． [1]设是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为

置信区

，因

而

分位数

可得

则有，

其中

这就证明了的近似置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似[2]平均月销售量

此处间为

若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.

5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明

：

【答案】由又因为所以得

6． 设

证明:

进一步由

得

较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区

置信区间可进一步简化为

为独立随机变量序列, 且

服从大数定律.

相互独立, 且

所以

【答案】因为

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知 7． 设

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令

, 证明:则

服从大数定律.

对任意的

服从大数定律.

又设, 有

为一列常数, 如果存在

常数c>0, 使得对一切n 有

【答案】不妨设