2017年兰州财经大学统计学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
3． 设
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令
, 证明:则
服从大数定律.
对任意的
因而
知
又由（1）知
所以有
又设, 有
为一列常数, 如果存在
常数c>0, 使得对一切n 有
【答案】不妨设
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
证明:
4． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
5． 设
所以是来自
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
故有
即X 与Z 不独立.
若检验由拒绝域为
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当
时，
【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在成立下，
而犯第二类错误的概率为
这是因为在成立下.
.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即
，或
，查表得：
由此给出
因而凡
最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率
（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
即
才可实现，这一结论在一般场
注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小.
6． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立. 7． 设
是来自泊松分布
的样本, 证明
是充分统计量.
有
合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的