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一、证明题

1． 总体

（1）证明

其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；

从而

于是，

这说明

是参数的无偏估计. 进一步，

这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为

因而θ的最大似然估计为

下求

的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为

故

从而

这说明

不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又

因而

是θ的相合估计.

显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围为取自该总体的样本，为样本均值.

（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体

则

2． 设从均值为方差为的总体中，分别抽取容量为的两独立样本，分别是

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由a+b=l知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&

的样本的合样本（样本量为

是线性无偏估计类

中方差最小的.

）的均值

3． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

4． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.

【答案】因为

所以

的概率分别

是证明

：

则X 与Y 有函数关系. 试证:X

即X 与Y 不相关.

5． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.

【答案】因为

所以A-B 与C 独立.

6． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证

：上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

，且的可能取值范围是（0，1）

所以

是严格单调减函数，其反函数为

的密度函数为

即

7． 设

证明:

又

由

知

都服从区间（0，1）

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.

为独立的随机变量序列, 且

服从大数定律.

所以由

由马尔可夫大数定律知

8． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

服从大数定律.

的独立性可得

【答案】因为