2017年湘潭大学数学与计算科学学院832高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列极限：
（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
（k 为正整数）。
2． 有一杠杆, 支点在它的一端。在距支点0.1m 处挂一质量为49kg 的物体。加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（如图所示）, 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
【答案】如图, 设最省力的杆长为x , 则此时杠杆的重力为5gx ,
由力矩平衡公式
知
, 令
, 得驻点x=1。4, 又
, 故x=1.4为极小值点, 又驻
点惟一, 因此x=1.4也是最小值点, 即杆长为1.4m 时最省力。
图
3． 试问a 为何值时, 函数处取得极值? 它是极大值还是极小值?
并求此极值。
【答案】, 函数在
处取得极值, 则
=0, 即
故a=2
又,
因此
为极大值。
4． 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
【答案】（1）故在x=0处连续。
又
，故
在x=0处不可导。
（2），故函数在x=0处连续。
又
故函数在x=0处可导。
5． 改换下列二次积分的积分次序:
【答案】（l ）所给二次积分等于二重积
分
，。
,
其
中
D 可改写为，于是
（图1）
图1 图2
（2）所给二次积分等于二重积
分
。
又D 可表示为
，因此
（图2）
（3）所给二次积分等于二重积分其中
又D 可表示为
，
。
，因此
（图3）
，其
中
图3 图4
（4）所给二次积分等于二重积分其中
又D 可表示为
，
。
，故 （图4）