2017年厦门大学海洋与地球学院838普通物理学(海洋与地球学院)之高等数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
2． 求抛物线
被圆
所截下的有限部分的弧长。
得到两曲线的交点为
3． 收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元。
（l ）将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; （2）将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; （3）某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少?
【答案】设订购x 台，实际售价每台p 元，厂方所获利润P 元. 则按题意，有 当
时，
，但最低价为75，即降
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
【答案】联立两曲线方程，因此所求弧长为
当x>100时，超过100台的订购量为x-100，售价降低价数不超过90-75=15，故
于是，当时
，
因此，有 （1）
时，
当
（2）
（3）
4． 利用定积分的定义计算下列极限:
（1）（2）【答案】（1）（2）
5． 画出下列各曲面所围立体的图形：
【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示
.
（元）。
图1 图2
6． 把抛物线y 2=4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。
【答案】该体积即为
，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为
7． 画出积分区域，并计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4〕
，其中D 是由两条抛物线，, 其中D 是由圆周, 其中
，其中D 是由直线
【答案】（l ）D 可用不等式表示为
（图1）
于是
及
所围成的闭区域;
及y 轴所围成的右半闭区域;
；
所围成的闭区域.
图1
（2）D 可用不等式表示为
（图2）
故
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