2017年华中师范大学数学与统计学学院717数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区
域
【答案】
假设存在
使得对一切
故必在D 上
2． 设常数A ，B ，C 满
足
变为方程
程
的两个不同实根.
【答案】由已知得关系式
于是
同理
将其代入方程中整理得
由已知条件，原方程变为
所以有
由
知，一元二次方程
有两个不等的实根，而由前两个方程知
使得
，
有
不妨设
则
由连续函数的保号性知：
存在
，
与已知
矛盾. 上
有
，且线性变
换
其中u (x ，y ) 具有二阶连续偏导数. 证明：
把方
程
为方
为方程
3． 设f (x ) 是区间
使得
(1
) (2
)
恰好是
【答案】因为
的两个根，由第三个不等式知
上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：
存在
在是若对任
意
上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以
有
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设使
则结论成立. 否则，即存在点
或
当当
时，取时，取
且
重复上述过程：若对任意
或有
或者存在
此时，因为假如即所以
由于矛盾.
并且
有
且
递増有上界
且
这样再重复上述过程，
得到
则有则有
有时，
取
使
使
递减有下界，所以存在
是连续函数，可以推出
是
在
上的最小值
是
在上
使
此时结论成立.
则结论成立. 否则，即存在点
有
且当
有
时，
取
使得
使得
即总存在
的最大值.
4． 设为二阶可微函数，
满足弦振动方程
为可微函数，证明函数
及初值条僻【答案】
所以
二、解答题
5． 设平面光滑曲线由极坐标方程
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给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式。 【答案】曲线的直角坐标方程为
于是
6． 利用函数
求证明：（1）某系各班级推选学生代表，每5人推选1名代表，余额满3人
；可增选1名. 写出可推选代表y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30〜50人）（2）正数x 经四舍五入后得整数y , 写出y 与x 之间的函数关系.
【答案】 （1）（2）
7． 求下列极限：
【答案】（1）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
（2）该极限是
型的不定式极限，利用洛必达法则有
8． 计算积分
【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)
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