2017年吉林师范大学数学学院828数学分析一考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设曲线明
【答案】由对称性知
2． 设f 为R 上连续函数，常数
记
【答案】f 在R 上连续. 答:(1) 证法一，因为
而f (x ) 、c 连续，由连续函数的代数运算知，F (x ) 在R 上连续. (2) 证法二，设
则u (x ) 处处连续，又因为f (x ) 连续，由连续函数的运算法则知，复合函数是连续的.
(3) 证法三，直接用连续函数的定义证明.
设
时，
设
由F (x )
的定义知
因为f (x )
在
时，显然F (x ) 在连续.
当连续，
所以
当也
的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令
证
时若因此当对
3． 己知
则
且
所以
所以若
则
时，总有
同样可得，故
在连续. 都是可微的
，
证明：
【答案】因为
故原式成立.
4． 证明下述命题：
(1) 设为(2) 设为要条件为
【答案】(1) 取故(2) 由于在
收敛，从而
上
上的非负连续函数. 若上的连续可微函数，且当收敛.
则由收敛.
均为连续函数，任给
有
设即
收敛，由收敛.
又若由于
的单调性可知，
收敛，
则对任给
存在
从而可知
使得当使
于是令
故有
收敛，则时，
也收敛.
收敛的充
递减地趋于0, 则
收敛，可知
也收敛，而
存在，
时，
有
不变号，故由积分中值定理知，存在
_可知
所以有
存在，即
收敛. 劼
收敛的充要条件是
收敛.
二、解答题
5． 设f 在[a，b]上可积，且
【答案】设
且
任给，由
于
时，有
由于f （x ）在[a, b]上可积，对上述正数和由可积第三充要条件知，存在某一分割T ，使得在T 所属的小区间中，知，在T 的小区
间
于是
的长至多为 6． 设
【答案】因为
求所以
那么在变换
下，区域
波 对应地映为
此时有
于是有
因此，所求面积为
8． 按函数作图步骤，作下列函数图像：
试问在[a，b]上是否可积？为什么？
在[a, b]上是可积的. 事实上，由于f （x ）在[a，b]上可积. 从而有界，
在
上一致连续，因此对上
述
存
在
当
的所有小区间
即
的总长:而在其余小区间
由式（*）
知另一方面，至多在
在[a，b]上可积。
由以上可
注
意
，而这些小区间
故由可积的第三充要条件知
7． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积
，
【答案】设区域