2017年杭州电子科技大学理学院881高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
3． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
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所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的解.
故 4． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定
是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
是（ ）二次型.
D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到
基
【答案】（A ）
二、分析计算题
6． 如果排列
【答案】
7． 设
①
的逆序数为k , 排列
证明： 是
的线性变换；
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的逆序数是多少？
②若则T 可逆可逆. 则
【答案】①任取
故T 是线性空间②若又若是T （H ）
则
的线性变换.
有
即T 为满射.
使
于
即T 为单射. 故T 可逆. 矛盾（因为T 可逆必为单射）.
使
也矛盾.
且在P 中有II 个不同特征值
证
且A , B可逆，则任取
反之，若T 可逆，则方阵A 与B 必可逆. 若不然，设A 不可逆，则存在方阵同样，若B 不可逆，则存在
8． 设V 是数域P 上n 维线性空间，明
：
【答案】
线性无关的充要条件是
由已知
其中是r
的特征值的特征向量
，
于是
因而
式（7-17）右边的n 阶矩阵A 的行列式为范德蒙行列式，由由
设
的
线性无关，故是
的特征向量
，
设
特征向量. 注意到（7 —17）成立，
也是V 的基，故
9． 设A 为非零矩阵，但不必为方阵，证明矩阵.
【答案】设A 为
如果
则有
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互不相同，则A 可逆，
互不相同，
故
只要证明
则是
贝U
线性无关
.
记
这里
是V 的基，由特征值
有解当且仅当必有其中E 为单位
矩阵
.
有解