2017年海南师范大学数学与统计学院804高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
2． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即 3．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
由②有
为空间的两组基，且
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
【答案】（A ）
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
二、分析计算题
6．
设
是欧氏空间V 的线性变换
，
是V 的一个变换，
证明
：（1）是V 的线性变换； （2）的值域
等于的核
的正交补
且
都
有
【答案】（1）由题设可得
由的任意性知
同理，所以
由式（1）、式（2）得t 是V 的线性变换. （2）可等价地证明
有
所以
则有
所以
从而
结合①、②可得
7．
已知线性空间
的线性变换
其中
与线性子空间
有
（1）求W 的一个基；
（2）证明：W 是的不变子空间；
（3）将看成W 上的线性变换，求W 的一个基，使在该基下的矩阵为对角矩阵. 【答案】（1）易知W 的一个基为
（2）任取
由于
所以W 是的不变子空间. （3）经计算知
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