2017年海南大学信息科学技术学院829高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
2． 设线性方程组
的解都是线性方程组的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设
的解空间分别为
则
所以
即证秩
3． 二次型
是（ ）二次型. A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
是不定二次型，故选B.
方法2 设二次型矩阵A ，则
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由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
5． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B.
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C.-1 D.
故
但当a=l时，
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设相似. 证明, 得阵要性因
任取
故有
【答案】取定线性空间V 的一组基. 设T ,
相似，则存在可逆矩阵S ，使如
则因
的自然
基
即
所以
7． 设
都是n 阶方阵. 定义：
证明：①若A ，B 都是半正定的，则A 。B 也是半正定的； ②若A ，B 都是正定的，则A 。B 也是正定的. 【答案】①因为
是半正定的，故存在实方阵
即有
再由于A ，B 皆为实对称的，故A 。B 亦然，且
其中
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是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S ，使则称
可
相似的充要条件是：存在可逆线性变换S ，使对V 中任一向量，由
在该基下的矩阵仍记为
中任给向量
显见问题等价于矩
. 如.
可得
必
相似的充要条件是，存在可逆阵S ，使
充分性由题设，存在可逆阵S ，
对
从而有
.
由可
得
即相似.
使
因为A 是半正定的，故对任意实向量X 皆有