2017年合肥工业大学数学学院808高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
3． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
【答案】D 【解析】 4． 若
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
都是4维列向量，且4阶行列式
则线性方程组（ ）•
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
二、分析计算题
6． 设A 是实对称矩阵. 证明：
（1）存在正实数
（2）存在正实数【答案】（1）设
使得
则
是正定矩阵.
的k 阶顺序主子式
注意
到由维列向量
7． 设
证明：①若
是实多项式函数
，
则
正定，则
时，
正定，于是
则存
在
故正定，取
使得
于是
正定.
正定.
正定，对于任意的n
即
当
时
，
取
使得对于任意的n 维列向量，都有
（2）因为A , —A 实对称，由（1）知存在充分大的
注意到可以为0, 都有
为整系数多项式.
是f （x ）的整数根，则
②若既约分数v/u是f （x ）的根，则对任意整数整除f （k ）. 【答案】①因为则
由于即知
故可得上面式（3）（但把改为
）且
其中为整数. 于是
令x=k代入上式后再两端乘以即得
故
8． （1）
设
但因为
故
从而
为其中
设
都是整数，故
都是整数（或直接利用“若
, 代入（3）
及
. 令是整系数多项式且g （x ）是本原的，则h （x ）必为整系数多项式. ”这一定理）
的最小多项式. 证明：如果
为n 维线性空间V 的线性变换
，
且
与
互素，则