2017年海南师范大学数学与统计学院804高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 2．
设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于-1
线性相关，所以线性相关，故选A.
则当（ ）时，此时二次型为正定二于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
所以f 为正定的.
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
5． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设
并记A 各列依次为
由于
又由方法2:设考虑到
不妨设由于AB=0可推得AB 的第一列
从而
线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 二、分析计算题 6． 设R 是实数域， （1）证明函数（2）任意给定【答案】（1）设 是闭区间 上的实连续可微函数的集合，V 在函数的加法在V 中线性无关. 在V 中找到n+1个线性无关的向量，并证明你的结论. 两边求导得方程组 令式得线性方程组 解得（2）对于设 线性无关. 由多项式的性质知 是V 中 个线性无关的向量. 和数乘函数的运算下是一个向量空间. （3）对某个m ，是否有V 和R 同构，如果是给出证明，如果不是，说明理由. （3）由（2）知V 是无限维向量空间，而是有限维向量空间，有限维向量空间不能与无限维向量空间同构. 否则V 将与自己的有限维真子空间同构，这是不可能的. 7． 设且 问：【答案】易知当b ≠0且 时 和b 满足何种关系时AX=0只有零解、有非零解？并求其一基础解系. 因此 AX=0只有零解.
相关内容
相关标签