2017年延边大学理学院高等数学与线性代数复试之线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
线性无关，
线性相关, 求向量B 用
线性表示的表示式.
使
【答案】方法一、因
线性相关，故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、因关. 又因
线性无关，故
线性相关，故
，于是存在使
2． 非齐次线性方程组
当λ取何值时有解? 并求出它的通解.
【答案】这里系数矩阵A 是方阵，但A 中不含参数，故以对增广矩阵作初等行变换为宜，求解如下：
线性相关，即
线性相
因线性无关，故
因R （A ）=2, 故当R （B ）=2，即当
当
时，
选为自由未知数，得同解方程组
或时，方程组有解.
得通解
当
时，
选为自由未知数，得
即
3．
设
求X.
【答案】AX=2X+A得（A-2E ）X=A.欲解此方程，需要①判断A-2E 为可逆矩阵；②进一步
-1
求X=（A-2E ）A. 这两件事可由（A-2E , A ）的行最简形一起解决
.
上述结果表明
故A-2E 可逆，且
4． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
令证明H 是对称的正交阵.
5． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量. 6． 设
（1）AB=BA吗? （2）（3）【答案】
⑴因
（2
）而
（3）
7． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U , 使处的值
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n 记对角阵从而
显然U 可逆，
并且由上式知
记
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故
任取
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
并且A 的二次型在该
但由⑴，
故
从而
但由⑴
，
故
从
吗？ 吗？
故
问：
8． 用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵：
（1）
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