2017年南通大学数学学科基础综合之工程数学—线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设3阶对称阵A 的特征值为与特征值A.
【答案】方法一：（1）求矩阵A 的对应于特征值由对称阵特征向量的性质知，
其系数矩阵
与和
都正交，即有
对应的特征向量为的两个线性无关的特征向量
求
的秩等于1. 于是，是它的一个基础解系，取其为
（2）把向量组用施密特方法正交化，得
（3）分别把向量令
，单位化，得
于是
则Q 为正交矩阵，并有
方法二：因A 是对称阵. 故必存在正交阵Q ，使也即
（1）并且，若Q 按列分块为
则向量是对应于特征值
位特征向量. 于是，由题设
由⑴式得
的单
于是
2． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
【答案】
所以A 的特征值为
（三重根）.
对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.因
（2）
所以A 的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0，由
得对应的特征向量当
时，解方程Ax=0, 由
得对应的特征向量当
时，解方程（A —9E ）x=0, 由
得对应的特征向量
（3）特征多项式为
所以A 的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0,
得对应的线性无关特征向量为
当时，解方程（A-E ）x=0，
得对应的线性无关特征向量为
3． 设
（1）AB=BA吗? （2）（3）【答案】
⑴因
（2
）而
（3）
问：
吗？ 吗？
故
但由⑴
，
故
从
但由⑴，故从而