2017年西南民族大学线性代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 问a 取什么值时下列向量组线性相关？
【答案】记
，则
于是当a=-1或a=2时，detA=0, 即 2． 设
，求一个4×2矩阵B , 使AB=0, 且R （B ）=2.
，因R （B ）=2, 故
且
线性无关.
是方程Ax=0的解；并旦这方程的
知此时向量组
线性相关.
【答案】设B 按列分块为又因
系数矩阵A 的秩R （A ）=2.于是可知
是它的一个基础解系
.
得
分别取，得此方程的一个基础解系为，.
于是，令
就满足题目的要求.
3． 下列矩阵是不是正交矩阵? 并说明理由：
【答案】（1）不是，因第1个列向量不是单位向量；
（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.
4． 已知向量组A
:
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，因此，向量组A 与B 等价.
5． 验证明：与向量线性空间.
【答案】事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
又
与不成比例，故R （A ）=2.
B ：
证明A 组与B 组等价，
行于即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.
6． 设x 为n 维列向量.
【答案】对称性：正交性：
令
证明H 是对称的正交阵.
7． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、
由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
8． 设
【答案】由因
它的行列式
左乘上式两边得
AB=A+2B, 求B.
故它是可逆阵. 用
于是AB 可逆，且有
二、解答题
9． 设n 维列向
量
【答案】记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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