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一、计算题

1． 设总体X 的分布律为:

表

1

其中

（1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量. 【答案】 （1）由于得

为的矩估计量.

于是求导得:由

即得的最大似然估计量为

, 其中

.

于是令

,

为来自总体的简单随机样本.

（2）总体X 的分布律可以表示为:其似然函数为,

2． 把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率.

【答案】考虑n 个“1”的放法:2n 个位置上“1”占有n 个位置，所以共有这共有

种放法，于是所求概率为

具体可算得愈小，最后趋于零.

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种放法，这是

分母，而“没有两个1连在一起”，相当于在n 个“0”之间及两头（共n+l个位置）去放“1”，

随着n 的增加，此种事件发生的概率愈来

3． 设

为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为

其中

试问

是否服从大数定律？

【答案】因为

由柯西积分判别法知上述级数收敛，故 4． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

存在，所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

，这样的矩形称为黄金矩形（看

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为， 试检验假设

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知， 故拒绝域为经计算

，若取显著性水平，由此，检验统计量

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

下拒绝原假设.

5． 在一时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9, 0.8和0.85，求一小时内

（1）没有一台机床需要维修的概率； （2）至少有一台机床不需要维修的概率； （3）至多只有一台机床需要维修的概率.

【答案】设事件A ，B ，C 依次表示甲、乙、丙三台机床需要维修. （1）（2）（3）

，查表知

，

6． 如果二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数为

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试求X 和Y 各自的边际分布函数. 【答案】因为

所以X 和Y 各自的边际分布函数为

可见，这两个边际分布都是指数分布，但这两个分布对应的随机变量不相互独立.

7． 设

【答案】由条件

，若

，得

，试证:A 与B 独立.

. 再由上题即得结论.

. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52

. 因为“顾客来到

8． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为

位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则

餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为

二、证明题

9． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

10．

设明:

由

为独立同分布的随机变量序列，方差存在.

又设服从大数定律. 【答案】不妨设

知

否则令

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为绝对收敛级数.

令即可.

证

并讨论