2018年陕西师范大学旅游与环境学院314数学(农)之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 一批产品中有
的不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.
，所求概率为
2． 一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1记p 为罐子中白球的比例，令表示第i 次有放回抽样所得的白球数， 则
因为黑球数与白球数比值
，故p 的最大似然估计为
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为解法2设罐子里有白球1个，则有黑球从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
>
其对数似然函数为
将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得
由于其对数似然函数的二阶导数为
，
所以
是R 的最大似然估计.
， ，
，
个，从而罐中共有
. 个球.
【答案】记X 为取出的3件产品中的不合格品数，则
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
即罐中黑球数与白球数之比的最大似然估计为4，若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
3． 设二维随机变量（x , y ）在边长为2, 中心为（0, 0）的正方形区域内服从均匀分布，
试求
.
【答案】记
因为（x , y ）服从D 上的均匀分布，且D 的面积
，G 的面积
4． 设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10分钟，且各件产品的组装时间是相互独立的.
（1）试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率； （2）保证有【答案】记知
的可能性，问16小时内最多可以组装多少件产品？ 为组装第i 件产品的时间（单位:分钟），则由
所以所求概率为
（1）根据题意所求概率如下，再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
（2）设16小时内最多可以组装k 件产品. 则根据题意可列出概率不等式
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
由此查表得
从中解得
为5小
5． 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布, 平均无故障工作的时间开机无故障工作的时间X 的分布函数
时. 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工作2小时便关机. 试求该设备每次
【答案】根据题意确定随机变量y 的表达式设X 服从参数为的指数分布, 根据题意得到则X 的概率密度为
当时,
当时,
当时,
所以y 的分布函数
6． 某公司对其250名职工上班所需时间进行了调查，下面是其不完整的频率分布表:
表
1
（1）试将频率分布表补充完整；
（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？ 【答案】（1）由于频率和为1, 故空缺的频率为（2）该公司上班所需时间在半小时以内的人所占频率为250人，故该公司上班所需时间在半小时以内的人有 7． 设随机变量，；（1）求（2）求问d 至多为多少？
【答案】⑴
（2）（3）由
多取0.154.
8． 设随机变量X 的密度函数为
若
，试求k 的取值范围.
该公司有职工
人.
；（3）设d 满足
，
查表得，由此解 得
，故d 至